Matematică — Clasa a X-a

Puterile se extind la exponenți negativi și raționali: a⁻ⁿ = 1/aⁿ și a^(m/n) = ⁿ√(a^m). De exemplu, 8^(2/3) = (³√8)² = 4. Regulile cunoscute (adunarea exponenților la înmulțire etc.) rămân valabile.

Logaritmul este exponentul: log_a(b) = c înseamnă a^c = b (cu a > 0, a ≠ 1, b > 0). De exemplu, log₂ 8 = 3 pentru că 2³ = 8. Logaritmul zecimal (lg) are baza 10, iar cel natural (ln) are baza e ≈ 2,718.

Proprietățile logaritmilor: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a(xⁿ) = n·log_a x. Schimbarea bazei: log_a b = log_c b / log_c a.

Funcția exponențială f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) este definită pe R cu valori în (0, +∞). Pentru a > 1 este strict crescătoare (creștere explozivă), pentru 0 < a < 1 strict descrescătoare. Graficul trece mereu prin punctul (0, 1).

Funcția logaritmică f(x) = log_a x este inversa exponențialei: definită pe (0, +∞), cu valori în R, trece prin (1, 0). Are aceeași monotonie ca exponențiala cu aceeași bază.

Ecuațiile exponențiale se rezolvă aducând la aceeași bază (2^x = 16 ⟹ x = 4) sau prin logaritmare; ecuațiile logaritmice se rezolvă folosind definiția, după impunerea condițiilor de existență: log₂(x − 1) = 3 ⟹ x − 1 = 8 ⟹ x = 9.

Regula produsului: dacă o alegere se face în m moduri și alta în n moduri, împreună se fac în m × n moduri. Factorialul n! = 1 × 2 × ... × n numără permutările: n obiecte distincte se pot ordona în n! moduri; 0! = 1.

Aranjamentele A(n, k) = n!/(n−k)! numără șirurile ordonate de k obiecte alese din n. Combinările C(n, k) = n!/(k!(n−k)!) numără submulțimile de k obiecte din n, fără ordine. De exemplu, C(5, 2) = 10 echipe de câte 2 din 5 persoane.

Binomul lui Newton dezvoltă (a + b)ⁿ cu coeficienții C(n, k): termenul general este T(k+1) = C(n, k)·a^(n−k)·b^k. Probabilitatea unui eveniment = numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile.

În reperul cartezian xOy, fiecare punct are coordonate (x, y). Distanța dintre A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂) este AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), iar mijlocul segmentului AB are coordonatele ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).

Dreapta are ecuația y = mx + n, unde m este panta: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă și perpendiculare dacă produsul pantelor este −1. Forma generală a ecuației dreptei: ax + by + c = 0.

Trei puncte sunt coliniare dacă determinantul format din coordonatele lor este nul, echivalent cu egalitatea pantelor. Aria unui triunghi cu vârfurile date se poate calcula cu jumătate din modulul aceluiași determinant.

Numărul i are proprietatea i² = −1, ceea ce permite rezolvarea ecuațiilor fără soluții reale. Un număr complex are forma algebrică z = a + bi, cu a partea reală și b partea imaginară. Mulțimea lor se notează C, iar R ⊂ C.

Operațiile se fac ca în calculul algebric, înlocuind i² cu −1: (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 5 + i. Conjugatul lui z = a + bi este z̄ = a − bi; împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului.

Modulul |z| = √(a² + b²) reprezintă distanța de la origine la punctul de afix z în planul complex. Ecuația de gradul al II-lea cu Δ < 0 are două soluții complexe conjugate: x² + 1 = 0 are soluțiile i și −i.