Matematică — Clasa a XI-a

O matrice este un tablou dreptunghiular de numere cu m linii și n coloane. Matricele de același tip se adună element cu element și se înmulțesc cu un scalar înmulțind fiecare element. Matricea unitate Iₙ are 1 pe diagonala principală și 0 în rest.

Produsul a două matrice A (m×n) și B (n×p) există doar dacă numărul de coloane al lui A este egal cu numărul de linii al lui B: elementul de pe poziția (i, j) este suma produselor dintre linia i din A și coloana j din B. Atenție: în general AB ≠ BA.

O matrice pătratică A este inversabilă dacă există A⁻¹ cu A·A⁻¹ = Iₙ; condiția este ca determinantul ei să fie nenul. Inversa se calculează cu formula A⁻¹ = (1/det A)·A*, unde A* este adjuncta.

Determinantul de ordin 2: |a b; c d| = ad − bc. Determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie sau coloană.

Proprietăți: determinantul cu două linii egale este nul; schimbarea a două linii schimbă semnul; un factor comun al unei linii iese în fața determinantului; det(AB) = det A · det B.

Aplicații: aria triunghiului cu vârfurile date, coliniaritatea a trei puncte (determinant nul) și rezolvarea sistemelor liniare cu regula lui Cramer.

Un sistem liniar se scrie matriceal AX = B, unde A este matricea coeficienților. Dacă det A ≠ 0, sistemul este compatibil determinat (soluție unică) și se rezolvă cu regula lui Cramer: xᵢ = det Aᵢ / det A, unde Aᵢ se obține înlocuind coloana i cu termenii liberi.

Dacă det A = 0, sistemul poate fi compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții) sau incompatibil (nicio soluție). Studiul se face cu rangul matricei și teorema lui Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil dacă rangul matricei egalează rangul matricei extinse.

Metoda lui Gauss transformă sistemul în formă triunghiulară prin operații elementare asupra liniilor, apoi necunoscutele se află prin substituție inversă — metodă eficientă pentru orice dimensiune.

Limita unei funcții în un punct descrie comportarea valorilor f(x) când x se apropie de acel punct. Limite fundamentale: 1/x → 0 când x → ∞; sin x / x → 1 când x → 0. Cazurile exceptate (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞) cer prelucrări algebrice.

Pentru rapoarte de polinoame la infinit, contează termenii de grad maxim: (2x² + 1)/(x² + 3x) → 2 când x → ∞. La 0/0 factorizăm și simplificăm: (x² − 4)/(x − 2) → 4 când x → 2.

O funcție este continuă în x₀ dacă limita în x₀ există și este egală cu f(x₀) — graficul nu „sare”. Funcțiile elementare sunt continue pe domeniile lor. O funcție continuă pe [a, b] care schimbă semnul are o rădăcină în interval (proprietatea valorilor intermediare).

Derivata f'(x₀) este limita raportului (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) când x → x₀ și reprezintă panta tangentei la grafic în acel punct — viteza de variație a funcției. Derivate uzuale: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x; (eˣ)' = eˣ; (ln x)' = 1/x.

Reguli de derivare: (f + g)' = f' + g'; (fg)' = f'g + fg'; (f/g)' = (f'g − fg')/g²; derivata funcției compuse: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).

Aplicații: unde f' > 0 funcția crește, unde f' < 0 descrește; punctele unde f' se anulează și își schimbă semnul sunt extreme locale. Cu tabelul de variație trasăm graficul. Teorema lui Lagrange și regula lui l'Hôpital (pentru limite 0/0) sunt instrumente esențiale.