Matematică — Clasa a VI-a

Criteriile de divizibilitate: cu 2 — ultima cifră pară; cu 3 — suma cifrelor divizibilă cu 3; cu 5 — ultima cifră 0 sau 5; cu 9 — suma cifrelor divizibilă cu 9; cu 10 — ultima cifră 0. De exemplu, 234 este divizibil cu 3 pentru că 2+3+4 = 9.

Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...). Numerele cu mai mult de doi divizori se numesc compuse. Orice număr compus se descompune unic în produs de factori primi: 60 = 2² × 3 × 5.

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) se obține luând factorii primi comuni la puterea cea mai mică, iar cel mai mic multiplu comun (cmmmc) — toți factorii, la puterea cea mai mare. Pentru 12 = 2² × 3 și 18 = 2 × 3²: cmmdc = 2 × 3 = 6, cmmmc = 2² × 3² = 36.

Raportul a două numere este câtul lor: raportul dintre 6 și 8 este 6/8 = 0,75. Rapoartele compară mărimi: viteza este raportul dintre distanță și timp.

O proporție este egalitatea a două rapoarte: a/b = c/d. Proprietatea fundamentală: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (b × c = a × d). Cu ea aflăm termenul necunoscut: dacă x/6 = 10/4, atunci x = 6 × 10 : 4 = 15.

Mărimile direct proporționale cresc împreună în același raport (cantitate și preț), iar cele invers proporționale variază în sens contrar (viteză și timp, la distanță fixă). Regula de trei simplă rezolvă problemele de proporționalitate.

Procentul este un raport cu numitorul 100: 25% = 25/100 = 0,25. Procentele exprimă „cât la sută” dintr-o mărime: 50% înseamnă jumătate, 25% un sfert, 10% a zecea parte.

Calculăm p% dintr-un număr înmulțind numărul cu p/100: 30% din 250 = 250 × 30/100 = 75. Invers, aflăm cât la sută reprezintă 15 din 60: 15/60 = 25/100 = 25%.

Procentele apar zilnic: reduceri de preț, dobânzi, concentrații, statistici. O reducere de 20% la un produs de 150 de lei înseamnă 30 de lei mai puțin, deci prețul nou este 120 de lei.

Numerele întregi cuprind numerele naturale, opusele lor negative și pe zero: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... Numerele negative apar la temperaturi sub zero, datorii sau altitudini sub nivelul mării.

Pe axa numerelor, numerele cresc spre dreapta: −5 < −2 < 0 < 3. Modulul unui număr este distanța lui față de zero: |−4| = 4 și |4| = 4. Opusul lui a este −a.

La adunare, numerele cu același semn se adună și păstrează semnul, iar cele cu semne diferite se scad și primesc semnul celui cu modul mai mare: −7 + 3 = −4. La înmulțire și împărțire: plus cu plus dă plus, minus cu minus dă plus, semne diferite dau minus: (−2) × (−3) = 6, (−2) × 5 = −10.

Triunghiul are trei laturi, trei vârfuri și trei unghiuri, iar suma măsurilor unghiurilor este mereu 180°. După laturi, triunghiurile sunt: echilaterale (toate laturile egale), isoscele (două laturi egale) și scalene (toate diferite). După unghiuri: ascuțitunghice, dreptunghice (un unghi de 90°) și obtuzunghice.

Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile și unghiurile respectiv egale. Cazurile de congruență: LUL (latură-unghi-latură), ULU (unghi-latură-unghi) și LLL (latură-latură-latură).

Liniile importante în triunghi: mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse; bisectoarea împarte un unghi în două părți egale; înălțimea este perpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura opusă; mediatoarea este perpendiculara pe mijlocul unei laturi. Medianele se intersectează în centrul de greutate G.