Matematică — Clasa a VII-a

Rădăcina pătrată a unui număr pozitiv a este numărul pozitiv care, ridicat la pătrat, dă a: √25 = 5, pentru că 5² = 25. Numerele ca √2 sau √3 nu se pot scrie ca fracții — ele sunt numere iraționale. Mulțimea numerelor reale R cuprinde numerele raționale și pe cele iraționale.

Reguli de calcul: √(a × b) = √a × √b și √(a/b) = √a/√b. Scoatem factori de sub radical descompunând în factori: √48 = √(16 × 3) = 4√3.

Pentru a aduna radicali, ei trebuie să fie asemenea: 2√3 + 5√3 = 7√3, dar √2 + √3 nu se mai poate restrânge. Raționalizăm numitorul amplificând cu radicalul: 1/√2 = √2/2.

Expresiile algebrice conțin litere (variabile): 3x + 2y. Termenii asemenea (cu aceeași parte literală) se reduc: 5x + 2x = 7x. Înmulțim parantezele termen cu termen: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Formulele de calcul prescurtat: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a − b)(a + b) = a² − b². Ele scurtează calculele: 101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201.

Descompunerea în factori inversează înmulțirea: dăm factor comun (3x + 6 = 3(x + 2)) sau recunoaștem formulele (x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² + 6x + 9 = (x + 3)²).

Ecuația de gradul I cu o necunoscută are forma ax + b = 0. O rezolvăm izolând necunoscuta: 3x − 6 = 0 ⟹ 3x = 6 ⟹ x = 2. Ce facem într-un membru facem și în celălalt — ecuația este ca o balanță.

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute se rezolvă prin metoda substituției (exprimăm o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuim în cealaltă) sau prin metoda reducerii (adunăm ecuațiile astfel încât o necunoscută să dispară).

Exemplu prin reducere: x + y = 7 și x − y = 3. Adunând, 2x = 10, deci x = 5 și y = 2. Multe probleme practice se traduc în ecuații sau sisteme.

Patrulaterul are patru laturi, iar suma unghiurilor lui este 360°. Paralelogramul are laturile opuse paralele și egale; diagonalele se înjumătățesc. Cazuri particulare: dreptunghiul (unghiuri drepte), rombul (laturi egale), pătratul (ambele).

Trapezul are doar două laturi paralele, numite baze. Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor.

Ariile: paralelogram A = b × h; dreptunghi A = L × l; pătrat A = l²; romb A = (d₁ × d₂)/2; trapez A = (B + b) × h / 2; triunghi A = (b × h)/2.

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente; atunci laturile lor sunt proporționale. Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează un triunghi asemenea cu cel dat. Teorema lui Thales: o paralelă la o latură determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

În triunghiul dreptunghic, teorema lui Pitagora leagă laturile: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor — c² = a² + b². Dacă catetele sunt 3 și 4, ipotenuza este √(9 + 16) = √25 = 5.

Reciproca teoremei lui Pitagora ne permite să verificăm dacă un triunghi este dreptunghic. În triunghiul dreptunghic se folosesc și teorema înălțimii (h² = produsul proiecțiilor) și teorema catetei.

Cercul este mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix numit centru; distanța este raza r. Diametrul trece prin centru și are lungimea 2r. Coarda unește două puncte ale cercului, iar arcul este o porțiune din cerc.

Lungimea cercului este L = 2πr, iar aria discului este A = πr², unde π ≈ 3,14. Pentru r = 5 cm: L = 10π ≈ 31,4 cm și A = 25π ≈ 78,5 cm².

Unghiul la centru are măsura egală cu a arcului cuprins; unghiul înscris în cerc are măsura jumătate din arcul cuprins. Tangenta la cerc atinge cercul într-un singur punct și este perpendiculară pe rază în acel punct.