Matematică — Clasa a VIII-a

Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete. Intervalul închis [a, b] include capetele; intervalul deschis (a, b) nu le include. Intervalele nemărginite folosesc infinitul: (−∞, 3] cuprinde toate numerele cel mult egale cu 3.

Inecuațiile de gradul I se rezolvă ca ecuațiile, cu o regulă în plus: la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă: din −2x < 6 obținem x > −3.

Soluțiile inecuațiilor se scriu ca intervale: soluția lui x > −3 este intervalul (−3, +∞). Cu intervalele facem și operații de intersecție și reuniune.

O funcție f : R → R, f(x) = ax + b asociază fiecărui număr x o valoare calculată după aceeași regulă. Pentru f(x) = 2x + 1, avem f(3) = 7. Graficul funcției liniare este o dreaptă.

Coeficientul a (panta) arată înclinarea dreptei: dacă a > 0 funcția crește, dacă a < 0 descrește. Termenul b arată unde dreapta taie axa Oy, în punctul (0, b).

Pentru a trasa graficul, alegem două valori ale lui x, calculăm f(x) și unim punctele. Intersecția cu axa Ox se află rezolvând f(x) = 0. Un punct A(x₀, y₀) aparține graficului dacă f(x₀) = y₀.

Ecuația de gradul al II-lea are forma ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0. Cazurile simple se rezolvă prin descompunere: x² − 5x = 0 devine x(x − 5) = 0, cu soluțiile x = 0 și x = 5; iar x² − 9 = 0 dă x = ±3.

Formula generală folosește discriminantul Δ = b² − 4ac: dacă Δ > 0 ecuația are două soluții reale, x = (−b ± √Δ)/(2a); dacă Δ = 0, o singură soluție; dacă Δ < 0, nu are soluții reale.

Exemplu: x² − 5x + 6 = 0 are Δ = 25 − 24 = 1, deci x₁ = 3 și x₂ = 2. Verificare: 3 și 2 au suma 5 și produsul 6.

Prisma dreaptă are două baze poligoane congruente și fețe laterale dreptunghiuri. Aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea (Aₗ = Pb × h), aria totală adaugă cele două baze, iar volumul este aria bazei ori înălțimea (V = Ab × h). Cubul cu muchia l are V = l³, iar paralelipipedul dreptunghic V = L × l × h.

Piramida are o singură bază și fețe laterale triunghiuri care se întâlnesc în vârf. Aria laterală este semiprodusul dintre perimetrul bazei și apotema piramidei (Aₗ = Pb × ap / 2), iar volumul este o treime din produsul ariei bazei cu înălțimea: V = Ab × h / 3.

În problemele cu corpuri folosim des teorema lui Pitagora pentru a lega muchiile, înălțimea, apotema și diagonalele. Diagonala cubului este l√3, iar a paralelipipedului dreptunghic √(L² + l² + h²).

Cilindrul circular drept are două baze discuri egale: aria laterală 2πr × g (g = generatoarea, egală cu înălțimea), aria totală 2πr(r + g) și volumul V = πr²h.

Conul circular drept are o bază disc și un vârf: aria laterală πr × g, aria totală πr(r + g) și volumul V = πr²h / 3 — o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și înălțime. Generatoarea verifică g² = r² + h².

Sfera de rază r are aria A = 4πr² și volumul V = 4πr³ / 3. Aceste formule apar frecvent la examenul de Evaluare Națională.